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By Bor-Luh Lin

This quantity comprises the complaints from a learn Workshop on Banach house conception held on the college of Iowa in Iowa urban in July 1987. The workshop supplied contributors with a collaborative operating surroundings within which principles will be exchanged informally. a number of papers have been initiated throughout the workshop and are offered right here of their ultimate shape. additionally integrated are contributions from numerous specialists who have been not able to wait the workshop. not one of the papers should be released in different places. throughout the workshop, hours on a daily basis have been dedicated to seminars on present difficulties in such components as susceptible Hilbert areas, zonoids, analytic martingales, and operator thought, and those themes are mirrored in a number of the papers within the assortment

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II subsistait en effet une restriction à cette liberté revendiquée par Cantor, la question d'a existence N qui avait déjà préoccupé les Grecs, et qui se posait ici de façon bien plus pressante, puisque précis4ment tout appel à une representation intuitive était maintenant abandonné. Nous verrons plus loin (p. 53-54) de quel maelstrom philosophico-mathématique la notion d' ((existence » devait être le centre dans les premières années du xxe siècle. Mais au X I X ~siMe on n'en est pas encore là, et démontrer l'existence d'un objet mathématique ayant des propriétés données, c'est simplement, comme pour Euclide, « construire » un objet ayant les propriétes indiquées.

Mais] pour le formaliste, I'exact it ude mathématique ne réside que dans le développement de la suite des relations, et est indépendante de la signification que l'on pourrait vouloir donner à ces relations ou aux entités qu'elles relient. » Il s'agit donc, pour le formaliste, de donner à la théorie des ensembles une base axiomatique tout à fait analogue à celle de la géométrie élémcntaire, où on ne s'occupe pas de savoir ce que sont les choses » que l'on appelle ensembles D, ni ce que signifie la relation x E y, mais où on énumère les conditions imposées à cette dernière relation ; bien entendu, cela doit être fait de façon à inclure, autant que possible, tous les résultats de la théorie de Cantor, tout en rendant impossible l'existence des ensembles (( paradoxaux ».

Il définit, dans ce travail, la notion générale d'équipotence de deux ensembles, et démontre que deux intervalles compacts dans W sont équipotents ; il observe aussi que la différence caractéristique entre ensembles finis et ensembles infinis consiste en ce qu'un ensemble infini E est équipotent à un sous-ensemble distinct de E, mais il ne donne aucune démonstration convaincante de cette assertion. Le ton général de cet ouvrage est d'ailleurs beaucoup plus philosophique que mathématique, et faute de dissocier de façon suffisamment nette la notion de puissance d'un ensemble de cclle de grandeur ou d'ordre d'infinitude, Bolzano échoue dans ses tentatives pour former des ensembles infinis de puissances de plus en plus grandes, et se laisse entraîner à cette occasion à mêler à ses raisonnements des considérations sur les séries divergentes qui sont totalement dépourvues de sens.

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